El modelo descuento de flujos de fondos debe incorporar, en sistemas económicos emergentes, un marco conceptual para el tratamiento de la inflación y valuación en dos monedas. El punto de partida son las teorías de paridad en los tipos de interés, poder de compra y efecto Fisher, añadiendo lógica borrosa para proyectar variables inciertas: tasas de interés, inflación, tipo de cambio y cantidad de producción siendo este uno de los principales aportes de este artículo. Además el trabajo adaptó las ecuaciones del modelo para planillas de cálculo dentro del entorno de MatLab® mediante matrices para números borrosos. El trabajo se estructura de la siguiente manera: se desarrollan las teorías de paridad y las ecuaciones del modelo en el marco de la lógica borrosa. Su funcionamiento es ilustrado con un caso de una empresa radicada en una economía emergente e inflacionaria como Argentina utilizando planillas de cálculo. Seguidamente es explicada la programación en MatLab®, adaptando los números borrosos mediante matrices y tensores. Finalmente, los resultados obtenidos demostraron la consistencia de las teorías de la paridad, incorporando lógica borrosa para el tratamiento de la incertidumbre, en el marco de un modelo integral de descuento de flujos de fondos de dos monedas.
The discounted cash flow model must incorporate, in emerging economic systems, a conceptual framework to study inflation and its effects in the valuation of two currencies. The starting point are the Parity Theories and the Fisher Effect, adding fuzzy logic to project uncertainty variables: interest rate, inflation, exchange rates and production. This addition is one of the main contributions of this paper. Moreover, this paper adapted the model´s equation to be used with spreadsheets within the MatLab environment, using matrixes for fuzzy numbers. The structure of the paper is as follows: First, Parity Theories and model´s equation within a fuzzy logic framework are developed. Then, its operation is applied to a firm located in an emerging and inflationary economy like Argentina, using spreadsheets. Next, MatLab programming is explained, adapting fuzzy numbers by matrixes and tensors. Finally, the results obtained showed consistency with the Parity Theories, adding fuzzy logic to treat uncertainty, within a comprehensive framework of discounted cash flow model applied to two currencies.
La valuación de empresas mediante el modelo de descuento de flujos de fondos presenta importantes desafíos, como: proyección de las magnitudes financieras, determinación de una tasa apropiada de descuento, definición del horizonte de proyección explícito y el planteo del valor terminal o de continuidad. Cuando el contexto se caracteriza por su condición de emergente, inestabilidad en precios y volatilidad en el tipo de cambio de la moneda doméstica en relación a la moneda extranjera o “
En base a lo expuesto, el presente trabajo tiene como objetivo y principal motivación desarrollar un modelo integral de valuación en contextos inflacionarios y en dos monedas, a partir del descuento de flujos de fondos e incorporando la lógica
El punto de partida son los trabajos de
Otro aporte consiste en plantear las ecuaciones del modelo con algebra matricial y tensores con el propósito de presentar los argumentos para programar en el entorno de MatLab, conforme se establece en el
En la siguiente sección se desarrolla el modelo. En primer lugar, se plantean los antecedentes relativos a las teorías de paridad, a continuación, se muestra la secuencia lógica para proyectar el NBT correspondiente al valor de la empresa mediante el método de descuento de flujos de fondos, con inflación y para dos monedas.
Se presentan las relaciones conocidas como paridad, las cuales, en los modelos de valuación en finanzas internacionales determinan, dadas las condiciones de equilibrio de mercado, las relaciones de valor correspondientes a tasas de interés, inflación y tipo de cambio esperado, para dos economías. Estas relaciones son:
Donde E[S
Por lo tanto, la diferencia entre las tasas de interés de dos economías se determina mediante los diferenciales de inflación
El efecto Fisher supone que la tasa real entre ambos países 𝑟𝑡,𝑟 , debe ser similar y converger. La ecuación de arbitraje de Fisher entre tasas nominales y reales es,
La tasa real es un dato no observable, que debe despejarse de la tasa nominal, siendo
A continuación se desarrolla el modelo propuesto. Se parte del supuesto que el comportamiento ambiguo, fuente de incertidumbre, corresponde a variables reales como las cantidades y nominales como la inflación. El siguiente gráfico expone la secuencia lógica del modelo propuesto con sus respectivas ecuaciones. En el
A continuación, cada una de las etapas indicadas en la
La tasa de inflación es calculada proyectando las tasas de interés local y extranjera, en este caso, a partir de las respectivas curvas de rendimientos de bonos soberanos locales expresados en moneda doméstica y extranjera. Una vez obtenidas las tasas para cada periodo, se procede a calcular al tipo de cambio futuro esperado (ecuaciones 1 y 2). Seguidamente se proceden a despejar la tasa de inflación doméstica (ecuación 3). Para ello se toma como insumo, la proyección correspondiente a la tasa de inflación esperada del mercado extranjero. Finalmente, y suponiendo convergencia de crecimientos, se obtiene la tasa real (ecuación 6).
Inflación doméstica (
Inflación extranjera (
En el presente trabajo se utiliza el símbolo (~) para notar números borrosos
Con la tasa nominal borrosa extranjera se utiliza la inflación extranjera
Para el conjunto de números reales (R) la forma expandida de la ecuación 12 queda planteada como;
Al ser las variables positivas, se puede trabajar con el subconjunto de números reales positivos (R+). La expresión se reduce a,
La expresión anterior requiere de un punto de partida para proyectar valores. El primer periodo se inicia a partir del tipo de cambio observado (S) en t=0 . Seguidamente, el resto de los periodos futuros se calcula con el tipo de cambio borroso obtenido mediante el valor futuro inmediato anterior borroso. En otras palabras, se aplica la teoría de expectativas
Una vez que se obtienen las tasas nominales proyectadas del costo de capital para cada periodo, éstas se convierten a tasas expresadas en términos reales, utilizando la tasa de inflación para
La tasa de costo de capital borrosa, se obtiene añadiendo la inflación estimada a la tasa real (ecuación 16).
Para transformar el costo del capital borroso de moneda doméstica a extranjera se utiliza la siguiente expresión,
Al ser todas las variables positivas, se puede estimar directamente para el subconjunto de números borrosos positivos (R+),
La otra fuente de incertidumbre la constituyen las variables reales, es decir las cantidades proyectadas
Seguidamente se aplican los coeficientes borrosos de inflación, con el fin de obtener la
Un procedimiento igual se utiliza para los costos fijos, los cuales son ajustados por la inflación doméstica borrosa correspondiente a cada periodo de proyección.
Los valores absolutos que representan la inversión periódica en capital de trabajo surgen del producto del porcentaje de capital de trabajo (%ct) por la contribución marginal borrosa
La suma de las variables borrosas (ecuaciones 21 a 23) arroja el flujo de fondo borroso después de impuestos, donde
El valor de la empresa mediante el descuento de flujos de fondos borroso con magnitudes financieras nominales, en moneda local, se obtiene actualizando las magnitudes monetarias obtenidas mediante la ecuación 24 y la tasa de costo de capital doméstica (ecuación 17 y 18).
La conversión a moneda extranjera expresada en términos nominales
El valor de la empresa mediante el descuento de flujos de fondos borroso en moneda extranjera queda planteado de la siguiente manera,
Los flujos de fondos proyectados borrosos surgen de la ecuación 26 y la tasa del costo de capital borroso de la ecuación 18. La consistencia de resultados entre el valor actual estimado con variables expresadas en términos reales y su par borroso en términos nominales, se verifica para el caso (𝛼 = 1). Lo mismo acontece para el valor actual en moneda extranjera. Esto es así ya que en t = 0, no existe riesgo de inflación y la consistencia con los valores en términos reales se presenta para el caso de las variables de partida.
La metodología propuesta para analizar el funcionamiento del modelo y demostrar su consistencia con el modelo en su versión determinística (no borrosa) es el estudio de caso en administración. Bajo este método se persigue analizar el funcionamiento y robustez de las proposiciones teóricas contenidas, en este caso en las ecuaciones del modelo, que permiten explicar y fundamentar la estimación del valor intrínseco de la firma (
Como unidad de análisis se seleccionó una empresa del tipo pequeña- mediana que opera y funciona en un mercado emergente como el sistema económico argentino. Se calculó su valor intrínseco a través del modelo propuesto, expresando valores en moneda local y extranjera. Considerado, como primer moneda al peso argentino y como segunda al dólar estadounidense. La aplicación del modelo desarrollado en la sección precedente se obtuvo mediante el empleo de las planillas de cálculo.
En esta sección se desarrollan las etapas y secuencias del modelo planteadas en el primer apartado, exponiendo en cada una de ellas los datos de mercado utilizados y los resultados obtenidos, hasta llegar a la estimación del NBT mediante el descuento de flujos de fondos para dos monedas.
Primero se proyectaron las tasas esperadas de interés local y extranjera, aplicando la proyección de la estructura temporal de los tipos de interés (ETTI) mediante la curva logarítmica de rendimientos. Se usaron los datos de mercado correspondientes a la duración modificada y TIR de bonos soberanos emitidos en moneda doméstica
La ETTI de bonos argentinos en dólares es 0.009ln(x) + 0.1464, véase
Para la proyección de la inflación local (Π
Las curvas permiten proyectar las variables macro. El número borroso (NBT) correspondiente a la inflación se obtiene aplicando las ecuaciones 8 y 9. El valor de
Fuente: elaboración propia.
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Inflación proyectada
(1-CV)*a a-α, ε(0)
a, ε(1) a, ε(1)
(1+CV)*a a+β, ε(0)
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Fuente: elaboración propia.
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Inflación proyectada
(1-CV)*a a-α, ε(0)
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En el
El objetivo consiste en proyectar la NBT nominal en ambas monedas, siendo el principal insumo, es la tasa real de interés convergente con la tasa doméstica. Se supone que la relación entre las tasas de dos países es explicada por los diferenciales de inflación (ecuación 6). Primero, se calculó la tasa real puntual proyectada, a partir de las tasas nominales de interés obtenidas mediante la curva de rendimientos (
El NBT para las tasas nominales se obtiene incorporando la inflación borrosa proyectada con los datos contenidos en
Fuente: elaboración propia.
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Un procedimiento similar se sigue para estimar el NBT correspondiente a la tasa nominal extranjera, suponiendo relaciones de paridad en equilibrio (ecuación 6).
Se proyectó el tipo de cambio futuro puntual, donde sus valores para
Fuente: elaboración propia.
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Para estimar el NBT correspondiente al flujo de fondos proyectados, se debe trabajar en forma individual cada elemento, destacando que las cantidades adoptan un comportamiento borroso independiente del proyectado para las variables nominales (precios). A continuación se detallan cada una de las variables que integran la magnitud financiera. La información detallada correspondiente a los α-cortes se expone en el
Fuente: elaboración propia.
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$ 1,606,177.15
$ 3,062,926.38
$ 1,645,882.64
$ 3,115,407.29
0.6
$ 1,306,978.38
$ 2,376,374.44
$ 1,716,658.85
$ 2,879,210.84
$ 1,745,190.44
$ 2,910,589.82
$ 1,785,882.86
$ 2,961,502.58
0.7
$ 1,436,480.05
$ 2,238,527.10
$ 1,857,039.99
$ 2,728,953.98
$ 1,885,684.09
$ 2,759,733.62
$ 1,927,428.02
$ 2,809,142.81
0.8
$ 1,567,173.96
$ 2,101,871.99
$ 1,998,831.95
$ 2,580,107.94
$ 2,027,658.10
$ 2,610,357.79
$ 2,070,518.13
$ 2,658,327.99
0.9
$ 1,699,060.11
$ 1,966,409.12
$ 2,142,034.73
$ 2,432,672.72
$ 2,171,112.48
$ 2,462,462.32
$ 2,215,153.18
$ 2,509,058.11
1
$ 1,832,138.50
$ 1,832,138.50
$ 2,286,648.32
$ 2,286,648.32
$ 2,316,047.22
$ 2,316,047.22
$ 2,361,333.17
$ 2,361,333.17
Finalmente se calculó el valor actual de los flujos de fondos expresados en moneda de cierre doméstica. Se aplicó la ecuación 25 con los elementos borrosos (NBT los cuales son: costo del capital nominal en moneda doméstica (ecuaciones 17 y 18) y los flujos de fondos proyectados (ecuación 24). El
Fuente: elaboración propia.
Α
i
S
0
$ 965.905-97
$ 6.642.585-26
0-1
$ 1.147.744-40
$ 6.220.399-89
0-2
$ 1.337.390-74
$ 5.817.737-49
0-3
$ 1.535.215-04
$ 5.433.534-79
0,4
$ 1.741.609,05
$ 5.066.797-94
0-5
$ 1.956.987-82
$ 4.716.597-33
0-6
$ 2.181.791-28
$ 4.382.062-77
0-7
$ 2.416.486-06
$ 4.062.379-11
0-8
$ 2.661.567-32
$ 3.756.782-23
0-9
$ 2.917.560-91
$ 3.464.555-33
1
$ 3.185.025-56
$ 3.185.025-56
El valor en dólares de cierre se estimó aplicando las ecuaciones 26 y 27. La primera estima el NBT de los flujos de fondos en dólares futuros, mediante las ecuaciones 14, 24 y los datos del
Fuente: elaboración propia.
Α
i
S
0
$ 10,803.53
$ 166,634.69
0.1
$ 13,347.41
$ 148,773.61
0.2
$ 16,147.60
$ 132,802.24
0.3
$ 19,231.07
$ 118,502.69
0.4
$ 22,628.00
$ 105,684.25
0.5
$ 26,372.23
$ 94,179.77
0.6
$ 30,501.74
$ 83,842.62
0.7
$ 35,059.19
$ 74,543.92
0.8
$ 40,092.61
$ 66,170.30
0.9
$ 45,656.07
$ 58,621.88
1
$ 51,810.57
$ 51,810.57
En equilibrio, la diferencia en las tasas de inflación entre dos países, explica el precio expresado en dos monedas para un mismo bien (empresa). El valor de la firma se explica por el interés, el tipo de cambio de contado y futuro, los precios de productos e insumos y el costo del capital. Para corroborar la consistencia de cálculos en α = 1, las magnitudes de flujos en moneda de cierre doméstica y tasa de costo de capital son transformadas en moneda inicial (términos reales). El Valor Actual de las magnitudes reales debe ser el mismo que el obtenido en los
Fuente: elaboración propia.
α=1
1i
1s
2i
2s
3i
3s
4i
4s
FF en moneda
$ 1,832,138.50
$ 1,832,138.50
$ 2,286,648.32
$ 2,286,648.32
$ 2,316,047.22
$ 2,316,047.22
$ 2,361,333.17
$ 2,361,333.17
de cierre
FF en moneda
$ 1,340,000.00
$ 1,340,000.00
$ 1,350,840.01
$ 1,350,840.01
$ 1,177,923.58
$ 1,177,923.58
$ 1,085,090.79
$ 1,085,090.79
de incio
CCPP en
21.32%
21.32%
21.23%
21.23%
21.26%
21.26%
21.34%
21.34%
términos reales
VA FF α=1
$ 1,104,560.63
$ 1,104,560.63
$ 918,506.37
$ 918,506.37
$ 660,500.83
$ 660,500.83
$ 501,457.74
$ 501,457.74
VAN α=1
$ 3,185,025.56
FF en moneda
$ 555,005.37
$ 3,228,495.54
$ 903,999.15
$ 3,810,379.11
$ 933,316.18
$ 3,846,814.63
$ 969,055.68
$ 3,908,104.99
de cierre
FF en moneda
$ 442,458.84
$ 2,181,166.88
$ 640,515.57
$ 1,905,520.81
$ 630,614.42
$ 1,509,476.24
$ 658,796.02
$ 1,257,318.19
de incio
CCPP en
2.81%
43.15%
0.97%
45.56%
.0.22%
47.37%
-1.13%
48.90%
términos reales
VA FF α=0
$ 309,079.82
$ 2,121,586.01
$ 307,391.45
$ 1,835,727.07
$ 205,357.26
$ 1,457,446.49
$ 144,077.43
$ 1,227,825.69
VA FF α=0 (i)
$ 965,905.97
VA FF α=0 (s)
$ 6,642,585.26
El NBT triangular correspondiente al valor actual de los flujos reales, es el mismo que el obtenido a partir de los nominales: VA a-α, ε(0)=$965,905.97; a, ε(1)=$3,185,025.56; a+β, ε(0)=$6,642,582.26. En moneda extranjera se corrobora la consistencia con α-corte =1, el cual se obtuvo del cociente entre el valor actual de los flujos de fondos en pesos y dólares (
Fuente: elaboración propia.
α=1
1i
1s
2i
2s
3i
3s
4i
4s
VA(FF $)/
$ 61.49
$ 61.49
$ 61.49
$ 61.49
$ 61.49
$ 61.49
$ 61.39
$ 61.39
VA (FF u$)
FF u$
$ 21,792.16
$ 21,792.16
$ 21,968.45
$ 21,968.45
$ 19,156.34
$ 19,156.34
$ 17,675.01
$ 17,675.01
reales
CCPP en
21.32%
21.32%
21.23%
21.23%
21.26%
21.26%
21.34%
21.34%
términos reales
VA FF
$ 17,963.26
$ 17,963.26
$ 14,937.49
$ 14,937.49
$ 10,741.60
$ 10,741.60
$ 8,168.23
$ 8,168.23
u$ α=1
VAN u$ α=1
$ 51,810.57
El valor en moneda extranjera de u$ 51, 810.57 representa para α = 1 el valor actual esperado en moneda extranjera de la corriente de flujos de fondos nominados en pesos, convertidos a tipos de cambio futuros, y actualizado a tasa de costo de capital en moneda extranjera y explica la relación presente en el tipo de cambio, ya que el cociente entre los valores actuales en pesos y en moneda extranjera expresan la paridad del tipo de cambio.
El
El modelo propuesto es una alternativa válida para valorar empresas en marcha en contextos emergentes, volátiles y con un impacto significativo del tipo de cambio, tanto en el precio de las transacciones como en las proyecciones. Adicionalmente éste se erige como un modelo integral, cuyo punto de partida son las teorías de paridad, las cuales sirven de sostén para las proyecciones de los precios correspondientes a las variables macroeconómicas como tasas de interés y tipo de cambio. Permiten inferir y proyectar la inflación esperada de la economía emergente, la cual en casos como el analizado, se encuentra fuertemente explicada por la variación en el tipo de cambio. De las proyecciones correspondientes a las variables nominales, como la proyección de las variables reales, se obtienen los flujos de fondos y tasas de costo de capital, que culminan en la determinación del valor intrínseco de la firma, en términos nominales y reales, expresados en moneda local y extranjera, con tan sólo cuatro pasos. A esto cabe agregar, dentro de un marco integral y coherente con la lógica de las teorías de paridad en el marco de las finanzas internacionales y del modelo de descuento de flujo de fondos.
El trabajo aporta la matemática borrosa al modelo, en particular, a partir de la construcción de los valores para variables nominales como tasas de interés e inflación y variables reales (cantidades producidas), lo que permite que el tipo de cambio futuro esperado, flujos de fondos esperados y costo del capital esperado en moneda local y extranjera adquieren el formato de NBT. En tal sentido se brinda un abanico de posibles resultados según el grado de ambigüedad para α-cortes. En un nivel α = 1 se expuso la consistencia del modelo en moneda extranjera y doméstica, como la paridad entre el NBT del descuento de flujos de fondos estimado con magnitudes financieras no- minales y reales. La matemática borrosa es una herramienta de utilidad, en especial, para contextos caracterizados por la ambigüedad en los datos. Adicionalmente, se incorpora el álgebra matricial para las operaciones con NBT en el programa MatLab®, como alternativa al empleo de planillas de cálculo.
En economía se conoce a la moneda como “dura”, cuando ésta reúne condiciones de: irrestricto poder de cancelación de obligaciones y sirve como reserva de valor, no depreciándose en el futuro. Estas monedas suelen contar con demanda elevada, tendiendo a aumentar su tipo de cambio debido a su alta demanda en relación a la oferta. En la mayoría de los países de América Latina la moneda dura es el dólar estadounidense y el euro, en contraposición a las monedas domésticas (débiles); sirviendo las primeras como referencia de valor de transacciones vinculadas a inversiones de largo plazo.
Irving Fisher planteó el hecho que las tasas nominales de interés reflejan la expectativa colectiva inflacionaria, y que dicha tasa compensa a los agentes de los efectos negativo de la inflación sobre el rendimiento real de sus inversiones (Fisher, 1965).
Si partimos de una tasa de interés real
El NBT se construye suponiendo que la variación máxima y mínima se explica por la desviación estándar. Por lo general, se estima una medida denominada coeficiente de variación (CV), que permite calcular el posible intervalo de máximo y mínimo valor para la media de la volatilidad (σ), basada en datos observados o juicios de expertos (
Se emplearon planillas bajo el sistema MS Excel®.
El rendimiento de los bonos indexados por el coeficiente de estabilización de referencia (ceR) fue ajustado por una inflación proyectada de 41.82%, que surge del cociente entre el coeficiente ceR de diciembre de 2018, de 11.88% sobre el coeficiente ceR de diciembre 2017 de 8.22% (ver Banco Central de la República Argentina, Estadísticas
Obtenida del sitio
Por ende, las tasas de interés reales de las economías bajo examen son similares.
Para el primer contrato se toma como valor el Tipo de cambio futuro al 29 de marzo de 2019 para contratos negociados a diciembre de 2019, Dólar futuro DLR122019. Los siguientes contratos son determinados realizando un roll-over sobre el primero
En relación con el CAPM, son conocidas las limitaciones que presenta, en particular para estimar tasas de rendimiento requerido en contextos emergentes, una excelente revisión actualizada del tema se puede ver en
Los datos fueron extraídos del sitio elaborado por A. Damodaran, Discount rate estimation, Annual returns on stock, bonds and t-bills 1928-current.
Los datos son obtenidos del sitio de A. Damodaran, correspondiente al riesgo país depurado de riesgo crediticio,
Las operaciones que se definirán son de uso muy frecuente y de implementación sencilla en lenguajes de programación matriciales como MatLab, Python (NumPy) y R
En ocasiones puede resultar conveniente definir la permutación de columnas a partir de un producto matricial usando una matriz de permutación adecuada.
También conocido como producto de Hadamard que es asociativo, conmutativo y distributivo con la suma
Solo para números borrosos definido sobre ℝ +
Solo para matrices con todos sus elementos en el conjunto de ℝ
Un desarrollo de la lógica de las matemáticas borrosas se puede encontrar en
Un tensor es un elemento algebraico que generaliza el concepto de matriz.
La programación de todas las ecuaciones página por página se puede hacer usando un loop
Todo número borroso puede ser expresado a partir de sus cortes -α. De alguna manera esto es discretizarlo para distintos valores de su función de membresía. Para cada corte -α, la única información necesaria para definirlo son los límites inferior y superior.
Considerando lo anterior, se puede ver que existe una biyección entre los números borrosos expresados mediante sus cortes y las matrices de dos columnas. Cualquier número borroso expresado a partir de sus cortes se puede representar como una matriz de filas y columnas, donde cada fila representa un corte distinto, y las columnas representan los límites inferior y superior. De manera arbitraria podemos situar la máxima posibilidad en la última fila y la mínima posibilidad en la primera fila, los demás cortes que- dan escalonados acorde.
Sin embargo, la aritmética matricial no resulta aplicable en su totalidad, es decir, hay operaciones entre números borrosos que no se pueden trasladar directamente a las matrices. Por tanto, es necesario incorporar algunas funciones simples que permitan realizar las operaciones básicas de los números borrosos usando matrices. La principal ventaja de esta representación es que muchos lenguajes de programación están diseñado para operar con matrices (y de manera general con tensores) lo que resulta en menor tiempo de cálculo y en procesos más simples cuando se implementan programas que tengan que realizar un gran número de operaciones entre números borrosos. Otra ventaja, es que algunas de las operaciones entre números borrosos pueden transferirse de manera directa a la representación matricial planteada.
A continuación se presenta la arítmetica de números borrosos a partir de sus cortes (Zadeh
1965). Dados dos números borrosos A y B, si los consideramos a partir de sus
cortes-α es posible escribirlos como
Suma: Inverso de la suma Resta: Producto Inverso del producto División
Para poder incorporar esta aritmética a la representación matricial que se propone, primero definir algunas operaciones
Permutación de columnas: Producto elemento a elemento: Inverso del producto elemento a elemento:
Es importante notar que todas las operaciones anteriores son cerradas sobre el conjunto que
nos interesa, es decir, devuelven como resultado matrices de
1. Suma:
Es la suma matricial usual.
2. Inverso de la suma:
Permutación de columnas con signo opuesto.
3. Producto:
a) Para empezar se debe definir una matriz auxiliar
b) Considerese la matriz
Se obtiene que
Inverso del producto:
La matriz inversa del producto elemento a elemento con sus columnas permutadas.
En la presente sección, primero se expone la implementación en MatLab de la aritmética borrosa para la representación matricial propuesta, a continuación se procede a desarrollar el modelo. En tal sentido es importante remarcar que la suma entre números borrosos como la adición y producto por escalares son un derivado natural del álgebra de matrices. En este caso, las operaciones fueron implementadas como funciones para luego ser utilizadas en el modelo. A continuación se presentan los argumentos para la suma y resta:
INVERSO DE LA SUMA:
function I = fuzz_invsum(A)
I = [-A(:,2) -A(:,1)]; %permutación de columnas con signo opuesto
end
A partir de la función anterior se puede programar la resta.
RESTA:
function R = fuzz_sub(A,B)
R = A + fuzz_invsum(B);
end
Después la programación para el producto y su inversa para la división:
PRODUCTO:
function P = fuzz_prod(A,B)
n = length(A(:,1)); %n es la cantidad de cortes
AUX1 = [B(:,2) B(:,1)];
D = [A.*B A.*AUX1]; %matriz auxiliar de 4 columnas
for i = 1:n %para todos los cortes se toma el mínimo y el máximo
P(i,1)=min(D(i,:));
P(i,2)=max(D(i,:));
end
end
INVERSO DEL PRODUCTO:
function I = fuzz_invprod(A)
AUX = 1./A; % inverso elemento a elemento
I = [AUX(:,2) AUX(:,1)];
end
Utilizando la función anterior se programa la división.
DIVISIÓN:
function C = fuzz_div(A,B)
C = fuzz_prod(A,fuzz_invprod(B));
end
Una vez efectuado lo anterior, se definen las funciones auxiliares del modelo. En primer lugar, se define la función generadora de números borrosos triangulares. Como todo NBT una grilla de valores de cortes-𝛼 y los extremos del número borroso triangular, extrapolado cada corte los vértices con el fin de obtener los valores para los extremos superior e inferior.
NBT:
function M = NBT(alpha_c,a,b,c)
li = alpha_c*(b- a) + a;
ls = alpha_c*(b - c) + c;
M = [li.’ ls.’];
end
Para ilustrar con un ejemplo la función anterior, se pueden considerar los cortes (0; 0,25; 0,5; 0,75; 1) y los vértices (1; 2; 4). Donde el vértice 2 es el asociado a la máxima posibilidad. La aplicación de la función sería:
De la suma se desprende la implementación de la suma por páginas para un tensor
SUMA POR PAGINAS:
function S = fuzz_sum(A)
S = zeros(size(A(:,:,1)));
n = length(A(1,1,:)); % cuenta la cantidad de páginas
for i = 1:n
S = S + A(:,:,i);
end
end
La implementación de la potencia de números borrosos también se puede programar recursivamente a partir del producto de dos números borrosos representados como matrices:
POTENCIA:
function P = fuzz_pot(A,n) P = ones(size(A));
for i=1:n
P = fuzz_prod(P,A);
end
end
La necesidad de utilizar la lógica borrosa en modelos dinámicos lleva a extender la representación matricial de los números borrosos, considerando el componente temporal. Si se considera el tiempo discreto t, con t un número natural y un número borroso A que puede variar en el tiempo, entonces decimos que At es el número borroso A en el periodo t. Para capturar los distintos estados que un número borroso puede tomar en el tiempo resulta natural extender nuestra representación matricial a tensores. Un tensor es un elemento algebraico que generaliza el concepto de matriz. En nuestro caso utilizaremos tensores de orden 3, es decir, que tendrán filas, columnas y páginas. Estas últimas serán las que designen cada periodo del tiempo discreto. Dado A, un número borroso que puede tomar distintos valores en el tiempo (número borroso temporal), tenemos que su representación tensorial
En la lógica del MatLab®, otra manera de definir un tensor es como un conjunto ordenado de
matrices, donde cada matriz es una página distinta. A modo de ejemplo, en el
tensor
La implementación en MatLab de las ecuaciones anteriores, y los valores iniciales de los insumos. Algunas consideraciones necesarias para la representación del modelo:
Las ecuaciones 8 a 24 se referencian para un periodo t, quiere decir que se deben realizar todas las operaciones por páginas. Muchas de las ecuaciones contienen operaciones entre números borrosos y escalares. Con la representación matricial propuesta estas operaciones son directas, ya que la suma y el producto de una matriz por un escalar se realiza elemento a elemento. La determinación del valor del proyecto (ecuaciones 25, 26 y 27) requiere de la suma del
flujo de fondos descontados sobre todos los periodos. Significa
sumar sobre las páginas del número borroso temporal que representa
el flujo de fondo descontado. Se utilizó una función que suma todas
las páginas de un número borroso temporal. Otra función auxiliar necesaria para el modelo es la potenciación de números borrosos.
En primer lugar se define el periodo temporal a considerar (t = 4) a considerar, y se generan los números borrosos correspondientes a proyecciones de inflación doméstica, extranjera y cantidades producidas.
T = 4; %Cantidad de periodos considerados
%NBT para la inflacion extranjera de cada periodo
pi_e(:,:,1) = NBT(0:0.1:1, 0.0152, 0.0160, 0.0168);
pi_e(:,:,2) = NBT(0:0.1:1, 0.0146, 0.0154, 0.0162);
pi_e(:,:,3) = NBT(0:0.1:1, 0.0140, 0.0148, 0.0156);
pi_e(:,:,4) = NBT(0:0.1:1, 0.0134, 0.0142, 0.0150);
%NBT para la inflacion doméstica de cada periodo
pi_d(:,:,1) = NBT(0:0.1:1, 0.1842, 0.2292, 0.2743);
pi_d(:,:,2) = NBT(0:0.1:1, 0.1329, 0.1779, 0.2229);
pi_d(:,:,3) = NBT(0:0.1:1, 0.1023, 0.1473, 0.1923);
pi_d(:,:,4) = NBT(0:0.1:1, 0.0803, 0.1253, 0.1703);
%NBT para las cantidades de cada periodo
q(:,:,1) = NBT(0:0.1:1, 80000, 100000, 120000);
q(:,:,2) = NBT(0:0.1:1, 88000, 110000, 132000);
q(:,:,3) = NBT(0:0.1:1, 92000, 115000, 138000);
q(:,:,4) = NBT(0:0.1:1, 96000, 120000, 144000);
Los números borrosos anteriores están definidos para cada periodo que se considera, es decir, son números borrosos temporales en su representación tensorial. En la
A continuación se incorporan los demás insumos del modelo;
%Tasa real estimada para cada periodo
r_r = [0.0294, 0.0376, 0.0429, 0.0469];
%Tipo de cambio Spot proyectado
%Definicion auxiliar para calcular el tipo de cambio futuro F_n S = 61.49*ones(11,2,5);
%Datos para el cálculo del costo promedio ponderado del capital
Wd = 0.4;
We = 1 - Wd;
tax = 0.35;
K_en = [0.371, 0.3602, 0.3539, 0.3493];
K_in = [0.2283, 0.1839, 0.158, 0.1396];
%Contribución marginal
cm = 44;
%Costo fijo
CF = 2000000;
%Incremento en el capital de trabajo
ct = 0.05;
%auxiliar para utilizar en el descuento de flujo de fondos
KAUX=ones(11,2,5);
KAUXx=ones(11,2,5);
Con todos los insumos definidos, se pueden aplicar todas las ecuaciones del modelo para calcular el valor de la firma.
for t=1:T %definimos todas las ecuaciones anteriores para cada periodo
r_dn(:,:,t) = r_r(t) + pi_d(:,:,t) + r_r(t) * pi_d(:,:,t); %tasa nominal doméstica
r_en(:,:,t) = r_r(t) + pi_e(:,:,t) + r_r(t) * pi_e(:,:,t); %tasa nominal externa
F_n(:,:,t) = fuzz_prod(S(:,:,t), fuzz_div(1+r_dn(:,:,t), 1+r_en(:,:,t))); %tipo de cambio futuro
S(:,:,t+1)=F_n(:,:,t);
k_on(t) = Wd * (1 - tax) * K_in(t) + We * K_en(t); %costo capital (no borroso)
%costo real del capital, usando la máxima posibilidad
K_or(t) = (k_on(t) + pi_d(length(pi_d), 1, t)) / (1 + pi_d(length(pi_d), 1, t));
%costo nominal del capital
K_on(:,:,t) = K_or(t) + fuzz_prod(1 + r_dn(:,:,t), 1 + r_en(:,:,t));
%costo de capital en moneda extranjera
K_ox(:,:,t) = fuzz_prod(K_on(:,:,t),fuzz_div(pi_e(:,:,t), pi_d(:,:,t)));
%contribucion marginal borrosa
CM(:,:,t) = cm * q(:,:,t);
%contribucion marginal borrosa en moneda de cada periodo
CM_n(:,:,t) = fuzz_prod(CM(:,:,t), 1 + pi_d(:,:,t));
%costo fijo borroso en moneda de cada periodo
CF_n(:,:,t) = CF * (1 + pi_d(:,:,t));
%inversion incremental en capital de trabajo
AUX(:,:,1)= zeros(11,2)
AUX(:,:,t+1) = ct * CM_n(:,:,t)
CTINC_n(:,:,t) = fuzz_sub(AUX(:,:,t+1), AUX(:,:,t));
%flujo de fondos borrosos en moneda local y extranjera
FFL_n(:,:,t)=fuzz_sub(fuzz_sub(CM_n(:,:,t),CF_n(:,:,t))*(1-tax), CTINC_n(:,:,t));
FFL_x(:,:,t) = fuzz_div(FFL_n(:,:,t), F_n(:,:,t));
%Auxiliares para descontar FFL
KAUX(:,:,t+1) = fuzz_prod(KAUX(:,:,t), 1 + K_on(:,:,t))
KAUXx(:,:,t+1) = fuzz_prod(KAUXx(:,:,t), 1 + K_ox(:,:,t))
%flujo de fondos descontados en moneda local y extranjera
FFLD_n(:,:,t) = fuzz_div(FFL_n(:,:,t),KAUX(:,:,t+1));
FFLD_x(:,:,t) = fuzz_div(FFL_x(:,:,t),KAUXx(:,:,t+1));
end
Una vez efectuado lo anterior, sólo resta plantear los argumentos para estimar el valor actual utilizando la fórmula de suma sobre páginas.
%VAN borroso en moneda local y extranjera
V_n = fuzz_sum(FFLD_n);
V_x = fuzz_sum(FFLD_x);
A continuación se presentan los graficos de NBT para las diferentes salidas, véase las
Fuente: elaboración propia.
α
1i
1s
2i
2s
3i
3s
4i
4s
0
1.60%
1.79%
1.53%
1.72%
1.45%
1.64%
1.38%
1.57%
0.1
1.61%
1.78%
1.54%
1.71%
1.46%
1.63%
1.39%
1.56%
0.2
1,62%
1,77%
1,55%
1,70%
1,47%
1,62%
1,40%
1,55%
0,3
1,63%
1,76%
1,56%
1,69%
1,48%
1,61%
1,41%
1,54%
0,4
1,64%
1,75%
1,56%
1,68%
1,49%
1,61%
1,42%
1,53%
0,5
1,65%
1,74%
1,57%
1,67%
1,50%
1,60%
1,43%
1,52%
0,6
1,66%
1,73%
1,58%
1,66%
1,51%
1,59%
1,44%
1,51%
0,7
1,67%
1,72%
1,59%
1,65%
1,52%
1,58%
1,45%
1,50%
0,8
1,68%
1,71%
1,60%
1,64%
1,53%
1,57%
1,46%
1,49%
0,9
1,69%
1,71%
1,61%
1,63%
1.54%
1.56%
1.46%
1.48%
1
1.70%
1.70%
1.62%
1.62%
1.55%
1.55%
1.47%
1.47%
Α
1i
1s
2i
2s
3i
3s
4i
4s
0
25.44%
48.02%
12.52%
35.10%
4.86%
27.44%
-0.61%
21.97%
0.1
26.57%
46.89%
13.64%
33.97%
5.99%
26.32%
0.52%
20.84%
0.2
27.69%
45.76%
14.77%
32.84%
7.12%
25.19%
1.65%
19.71%
0.3
28.82%
44.63%
15.90%
31.71%
8.25%
24.06%
2.77%
18.58%
0.4
29.95%
43.50%
17.03%
30.58%
9.38%
22.93%
3.90%
17.45%
0.5
31.08%
42.37%
18.16%
29.45%
10.51%
21.80%
5.03%
16.32%
0.6
32.21%
41.24%
19.29%
28.32%
11.64%
20.67%
6.16%
15.19%
0.7
33.34%
40.11%
20.42%
27.19%
12.77%
19.54%
7.29%
14.06%
0.8
34.47%
38.98%
21.55%
26.06%
13.90%
18.41%
8.42%
12.94%
0.9
35.60%
37.86%
22.68%
24.94%
15.03%
17.28%
9.55%
11.81%
1
36.73%
36.73%
23.81%
23.81%
16.15%
16.15%
10.68%
10.68%
Fuente: elaboración propia.
7.00%
7.64%
13.60%
0.9617
27.72%
71.72%
25.59%
6.36%
7.64%
13.60%
0.9617
27.08%
54.82%
25.05%
5.98%
7.64%
13.60%
0.9617
26.70%
44.92%
24.77%
5.71%
7.64%
13.60%
0.9617
26.43%
37.90%
24.59%
Fuente: elaboración propia.
ki, n
ko, n
ko r
71.72%
54.13%
65.87%
21.32%
54.82%
38.88%
50.09%
21.23%
44.92%
29.96%
40.85%
21.26%
37.90%
23.63%
34.29%
21.34%
Fuente: elaboración propia.
α
1i
1s
2i
2s
3i
3s
4i
4s
0
80000
120000
88000
132000
92000
138000
96000
144000
0,1
82000
118000
90200
129800
94300
135700
98400
141600
0,2
84000
116000
92400
127600
96600
133400
100800
139200
0,3
86000
114000
94600
125400
98900
131100
103200
136800
0,4
88000
112000
96800
123200
101200
128800
105600
134400
0,5
90000
110000
99000
121000
103500
126500
108000
132000
0,6
92000
108000
101200
118800
105800
124200
110400
129600
0,7
94000
106000
103400
116600
108100
121900
112800
127200
0,8
96000
104000
105600
114400
110400
119600
115200
124800
0,9
98000
102000
107800
112200
112700
117300
117600
122400
1
100000
100000
110000
110000
115000
115000
120000
120000
α
1i
1s
2i
2s
3i
3s
4i
4s
0
$ 52.11
$ 56.07
$ 49.85
$ 53.81
$ 48.50
$ 52.46
$ 47.53
$ 51.49
0.1
$ 52.30
$ 55.87
$ 50.04
$ 53.61
$ 48.70
$ 52.27
$ 47.73
$ 51.30
0.2
$ 52.50
$ 55.67
$ 50.24
$ 53.41
$ 48.90
$ 52.07
$ 47.93
$ 51.10
0.3
$ 52.70
$ 55.47
$ 50.44
$ 53.21
$ 49.10
$ 51.87
$ 48.13
$ 50.90
0.4
$ 52.90
$ 55.28
$ 50.64
$ 53.02
$ 49.29
$ 51.67
$ 48.32
$ 50.70
0.5
$ 53.10
$ 55.08
$ 50.84
$ 52.82
$ 49.49
$ 51.47
$ 48.52
$ 50.50
0.6
$ 53.29
$ 54.88
$ 51.04
$ 52.62
$ 49.69
$ 51.27
$ 48.72
$ 50.31
0.7
$ 53.49
$ 54.68
$ 51.23
$ 52.42
$ 49.89
$ 51.08
$ 48.92
$ 50.11
0.8
$ 53.69
$ 54.48
$ 51.43
$ 52.22
$ 50.09
$ 50.88
$ 49.12
$ 49.91
0.9
$ 53.89
$ 54.28
$ 51.63
$ 52.03
$ 50.28
$ 50.68
$ 49.32
$ 49.71
1
$ 54.09
$ 54.09
$ 51.83
$ 51.83
$ 50.48
$ 50.48
$ 49.51
$ 49.51
Fuente: elaboración propia.
α
1i
1s
2i
2s
3i
3s
4i
4s
0
$ 4,168,405.57
$ 6,728,106.23
$ 4,386,477.69
$ 7,102,764.19
$ 4,462,069.40
$ 7,239,926.65
$ 4,563,117.00
$ 7,415,272.95
0.1
$ 4,288,861.89
$ 6,592,592.48
$ 4,514,010.42
$ 6,958,668.28
$ 4,592,304.23
$ 7,092,375.76
$ 4,696,690.34
$ 7,263,630.69
0.2
$ 4,410,110.70
$ 6,457,871.23
$ 4,642,414.91
$ 6,815,444.11
$ 4,723,450.44
$ 6,945,736.25
$ 4,831,214.67
$ 7,112,939.43
0.3
$ 4,532,152.01
$ 6,323,942.47
$ 4,771,691.14
$ 6,673,091.69
$ 4,855,508.03
$ 6,800,008.10
$ 4,966,690.00
$ 6,963,199.17
0.4
$ 4,654,985.82
$ 6,190,806.21
$ 4,901,839.11
$ 6,531,611.02
$ 4,988,476.98
$ 6,655,191.33
$ 5,103,116.33
$ 6,814,409.90
0.5
$ 4,778,612.12
$ 6,058,462.45
$ 5,032,858.83
$ 6,391,002.09
$ 5,122,357.30
$ 6,511,285.93
$ 5,240,493.65
$ 6,666,571.62
0.6
$ 4,903,030.92
$ 5,926,911.18
$ 5,164,750.30
$ 6,251,264.90
$ 5,257,148.99
$ 6,368,291.90
$ 5,378,821.96
$ 6,519,684.34
0.7
$ 5,028,242.21
$ 5,796,152.41
$ 5,297,513.52
$ 6,112,399.47
$ 5,392,852.06
$ 6,226,209.23
$ 5,518,101.28
$ 6,373,748.06
0.8
$ 5,154,246.01
$ 5,666,186.14
$ 5,431,148.48
$ 5,974,405.78
$ 5,529,466.49
$ 6,085,037.94
$ 5,658,331.58
$ 6,228,762.77
0.9
$ 5,281,042.29
$ 5,537,012.36
$ 5,565,655.18
$ 5,837,283.83
$ 5,666,992.30
$ 5,944,778.02
$ 5,799,512.89
$ 6,084,728.48
1
$ 5,408,631.08
$ 5,408,631.08
$ 5,701,033.63
$ 5,701,033.63
$ 5,805,429.48
$ 5,805,429.48
$ 5,941,645.19
$ 5,941,645.19
Fuente: elaboración propia.
α
1i
1s
2i
2s
3i
3s
4i
4s
0
$ 2,368,412.26
$ 2,548,525.09
$ 2,265,742.61
$ 2,445,855.44
$ 2,204,579.74
$ 2,384,692.57
$ 2,160,566.76
$ 2,340,679.59
0.1
$ 2,377,417.90
$ 2,539,519.45
$ 2,274,748.25
$ 2,436,849.80
$ 2,213,585.38
$ 2,375,686.93
$ 2,169,572.40
$ 2,331,673.95
0.2
$ 2,386,423.54
$ 2,530,513.80
$ 2,283,753.89
$ 2,427,844.16
$ 2,222,591.02
$ 2,366,681.29
$ 2,178,578.04
$ 2,322,668.31
0.3
$ 2,395,429.18
$ 2,521,508.16
$ 2,292,759.53
$ 2,418,838.51
$ 2,231,596.67
$ 2,357,675.65
$ 2,187,583.69
$ 2,313,662.67
0.4
$ 2,404,434.82
$ 2,512,502.52
$ 2,301,765.17
$ 2,409,832.87
$ 2,240,602.31
$ 2,348,670.01
$ 2,196,589.33
$ 2,304,657.03
0.5
$ 2,413,440.46
$ 2,503,496.88
$ 2,310,770.81
$ 2,400,827.23
$ 2,249,607.95
$ 2,339,664.36
$ 2,205,594.97
$ 2,295,651.39
0.6
$ 2,422,446.11
$ 2,494,491.24
$ 2,319,776.46
$ 2,391,821.59
$ 2,258,613.59
$ 2,330,658.72
$ 2,214,600.61
$ 2,286,645.74
0.7
$ 2,431,451.75
$ 2,485,485.60
$ 2,328,782.10
$ 2,382,815.95
$ 2,267,619.23
$ 2,321,653.08
$ 2,223,606.25
$ 2,277,640.10
0.8
$ 2,440,457.39
$ 2,476,479.96
$ 2,337,787.74
$ 2,373,810.31
$ 2,276,624.87
$ 2,312,647.44
$ 2,232,611.89
$ 2,268,634.46
0.9
$ 2,449,463.03
$ 2,467,474.31
$ 2,346,793.38
$ 2,364,804.66
$ 2,285,630.52
$ 2,303,641.80
$ 2,241,617.54
$ 2,259,628.82
1
$ 2,458,468.67
$ 2,458,468.67
$ 2,355,799.02
$ 2,355,799.02
$ 2,294,636.16
$ 2,294,636.16
$ 2,250,623.18
$ 2,250,623.18
Fuente: elaboración propia.
α
1i
1s
2i
2s
3i
3s
4i
4s
0
$ 208,420.28
$ 336,405.31
$ 219,323.88
$ 355,138.21
$ 223,103.47
$ 361,996.33
$ 228,155.85
$ 370,763.65
0.1
$ 214,443.09
$ 329,629.62
$ 225,700.52
$ 347,933.41
$ 229,615.21
$ 354,618.79
$ 234,834.52
$ 363,181.53
0.2
$ 220,505.54
$ 322,893.56
$ 232,120.75
$ 340,772.21
$ 236,172.52
$ 347,286.81
$ 241,560.73
$ 355,646.97
0.3
$ 226,607.60
$ 316,197.12
$ 238,584.56
$ 333,654.58
$ 242,775.40
$ 340,000.41
$ 248,334.50
$ 348,159.96
0.4
$ 232,749.29
$ 309,540.31
$ 245,091.96
$ 326,580.55
$ 249,423.85
$ 332,759.57
$ 255,155.82
$ 340,720.49
0.5
$ 238,930.61
$ 302,923.12
$ 251,642.94
$ 319,550.10
$ 256,117.86
$ 325,564.30
$ 262,024.68
$ 333,328.58
0.6
$ 245,151.55
$ 296,345.56
$ 258,237.52
$ 312,563.25
$ 262,857.45
$ 318,414.59
$ 268,941.10
$ 325,984.22
0.7
$ 251,412.11
$ 289,807.62
$ 264,875.68
$ 305,619.97
$ 269,642.60
$ 311,310.46
$ 275,905.06
$ 318,687.40
0.8
$ 257,712.30
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Fuente: elaboración propia.
Α
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Fuente: elaboración propia.
Α
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Fuente: elaboración propia.
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Fuente: elaboración propia.
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Fuente: elaboración propia.
Dólar
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