Reconocemos a la Universidad Autónoma del Estado de México, Unidad Académica Profesional Huehuetoca, por el apoyo brindado, ya que este trabajo es una síntesis de la tesis de la licenciatura en Actuaría de Maivelin Mendez Molina, bajo la dirección del Dr. Héctor Alonso Olivares Aguayo. Asimismo, se agradece al Dr. Luis Antonio Andrade Rosas por los aportes para robustecer el marco teórico de este trabajo de investigación.
El objetivo de la investigación es pronosticar el precio de cierre de las acciones de BIMBO y HERDEZ del sector de alimentos de la BMV en el corto plazo, utilizando modelos de series de tiempo ARIMA buscando lograr una toma de decisiones adecuada que genere ganancias con portafolios cono de alta volatilidad y cono corto de baja volatilidad. Los resultados muestran dos pronósticos econométricos mediante modelos ARIMA para las empresas mexicanas del sector de alimentos mencionadas. Considerando la viabilidad de los portafolios se observan siete conos y veintitrés conos cortos para BIMBO, y para HERDEZ ocho conos y veintidós conos cortos. Asimismo, se observa que predominó la baja volatilidad en el comportamiento de los precios de cierre para ambas empresas. Se recomienda ampliar la investigación a otro tipo de compañías del sector de alimentos. Este trabajo se limita a la construcción de portafolios únicamente con dos opciones financieras mediante el modelo Black-Scholes. Se concluye que el inversionista, para generar utilidades, debe generar decisiones de inversión adecuadas en sus portafolios de volatilidad con opciones financieras a través de pronósticos para un periodo de hasta 30 días.
The objective of the research is to forecast the closing price BIMBO and HERDEZ stocks, both companies quote in the food sector of the Mexican Stock Market, using ARIMA time series models, in order to achieve adequate decision-making that generates profits when investing in portfolios straddle of high volatility and short straddle of low volatility. The results show a couple of forecasts using ARIMA models for the above-mentioned companies. Regarding the viability of the portfolios, seven straddles and twenty-three short straddles were observed for BIMBO, and eight straddles and twenty- two short straddles were determined for HERDEZ. Also, a prevalence of low volatility in the behavior of closing prices is observed for both companies. It is recommended to extend the research to other types of companies in the food sector. This research is limited to the construction of portfolios with only two financial options using the Black-Scholes model. It is concluded that the investor, to obtain profits, must generate adequate investment decisions in their volatility portfolios with financial options through forecasts considering up to thirty days.
Para los inversionistas es importante conocer en qué medida les afectan los diversos movimientos que existen en los precios de cierre en el mercado de acciones, ya que buscan la obtención de ganancias y la disminución de pérdidas potenciales que pudieran llegar a tener. El efecto de la información asimétrica sobre las decisiones financieras ha ocasionado que surjan ramas como la economía financiera (
Estos modelos con fundamentos matemáticos se han aplicado a distintas áreas de la economía,
que cuando se combinan con la estadística y la probabilidad, dan paso a la
econometría. De manera específica, la econometría puede representar datos de corte
transversal, como empresas en un mismo año, países en un sexenio, o individuos
gastando en un mes específico, o puede capturar el gasto de gobierno de un país que
depende de las variables macro durante
Una rama muy útil de la econometría son las series de tiempo, que analiza las predicciones de una variable con respecto a sus rezagos, o rezagos de otras variables, resaltando los modelos AR, ARMA, ARIMA, técnicas de cointegración y causalidad. Por ejemplo,
Uno de los problemas de las series de tiempo es la estacionalidad, al respecto,
En este trabajo nos interesa visualizar la alta o baja volatilidad en los precios de cierre de las acciones de BIMBO y HERDEZ que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV), la volatilidad con frecuencia se debe a factores externos como: políticas económicas en los aranceles, la fluctuación del dólar, modificación en las tasas de interés, etcétera. El estudio del mercado accionario se ha analizado de manera concurrente, en particular se han hecho estudios para México (
Los factores externos expuestos provocan que exista una mayor volatilidad en las acciones que se cotizan en la BMV por lo que esta investigación tiene como objetivo pronosticar los precios de cierre de las acciones de BIMBO y HERDEZ con el fin de construir portafolios cono y cono corto de alta y baja volatilidad respectivamente con opciones financieras para obtener ganancias futuras. Como ejemplo de investigación referente a la construcción de portafolios con opciones financieras sobre el principal índice accionario de México (hoy en día S&P/BMV IPC) y sus componentes.
En particular este trabajo tiene como hipótesis que mediante las series de tiempo, se predicen a través de modelos ARIMA los precios futuros de cierre de las acciones BIMBO y HERDEZ de la BMV, para poder generar ganancias con la construcción de portafolios cono y cono corto con opciones financieras. Asimismo, se analiza si los pronósticos realizados hasta por 30 días, para los precios de cierre de ambas empresas son aproximados a los precios reales, implementando portafolios de volatilidad cono y cono corto que otorguen ganancias al inversionista. El desarrollo del presente trabajo es como sigue. En la sección 1 se presenta una breve revisión de la literatura, en la sección 2 se desarrolla la metodología propuesta, en la sección 3 se presentan y analizan los resultados obtenidos, por último, se realiza una breve discusión y se presentan las conclusiones e implicaciones finales de este trabajo de investigación.
La volatilidad es analizada en la teoría de fijación de precios con derivados financieros; por ejemplo, en la valuación de opciones financieras a partir del modelo cerrado de
Este trabajo, en primera instancia, hace una predicción con base en series de tiempo financieras. Una de las características de los rendimientos de las series de tiempo financieras (
Un portafolio con opciones financieras se da al combinar por lo menos dos productos financieros derivados de este tipo. Los portafolios son generados al comprar y vender dichas opciones, de acuerdo con la expectativa que tenga el inversionista sobre el comportamiento del precio futuro de la variable que se desea analizar.
La econometría no ha sido la excepción en el estudio de esta volatilidad, de hecho, la aplicación econométrica al aspecto financiero desarrolló una metodología más profunda de análisis, llamada econometría financiera, la cual se ha aplicado principalmente a los rendimientos de las acciones financieras y la composición de portafolios. Como lo sustentan
La volatilidad también se ha capturado a través de modelos de series de tiempo, por ejemplo,
Por su parte,
Otros autores, como
Los índices bursátiles se han medido incluso con redes neuronales, por ejemplo,
Finalmente,
Los modelos que se utilizan en series de tiempo tienen la función de pronosticar el comportamiento de los datos a corto o largo plazo.
Es útil distinguir entre el pronóstico
Como se muestra en la
Una serie de tiempo es un conjunto de datos observados y ordenados a través del tiempo. La manera en que se puede representar una serie de tiempo matemáticamente es la siguiente.
Se tiene 𝑦𝑗 observaciones, tal que 𝑗 = 1,2, … , 𝑇 y la suma de todas esas observaciones conforman la serie de tiempo 𝑦(𝑡).
Para fines del pronóstico, interesa modelar la serie de tiempo, como el valor 𝑦𝑇 es conocido, se busca el valor posterior pronosticado
Los modelos tradicionales en series de tiempo son los modelos Autorregresivos de orden (p), también llamados AR (p) y los modelos de Medias Móviles de orden (q) abreviados como MA (q). La combinación de estos dos modelos conlleva a modelos mixtos, como son: Autorregresivos de Medias Móviles de orden (p,q), conocidos como ARMA (p,q) y el modelo Autorregresivo Integrado de Media Móvil ARIMA (p,d,q).
Este trabajo de investigación se centra en este último modelo ARIMA (p,d,q), por lo que a continuación se explican sus características principales. El modelo ARIMA (p,d,q) tiene la característica principal de ser un proceso integrado en diferencias, donde su orden se encuentra definido por el parámetro (d) a diferencia del modelo ARMA (p,q).
El operador diferencia, tiene la función de hacer estacionaria una serie que no lo es. Matemáticamente se expresa lo anterior como sigue.
Δyt = yt-yt-1 de primer orden
Δ2yt = Δyt - Δyt-1 de segundo orden
Δdyt = Zt de orden d
Retomando la ecuación 𝛥𝑑𝑦𝑡 = 𝑍𝑡 estacionaria, 𝑍𝑡 se expresa como un ARIMA (p,d,q):
Los procesos ARIMA (p,d,q), también se pueden descomponer, si una serie únicamente presenta problemas en sus perturbaciones, es decir que no requiere del modelo AR (q) sino del MA (q) pero necesita ser integrado, por lo que el orden dependerá sólo de d y q, por lo que será de orden (0,d,q) construyendo un modelo IMA, por otro lado, si únicamente se tiene un modelo AR (p) y el proceso necesita de integración en diferencias, el orden estará dado por (p,d,0) y se denominará ARI. Los modelos mixtos, son versátiles en el momento de escoger el orden, y adecuarlos según se requiera; otra cualidad que poseen estos tipos de modelos, contrario a lo que hacen los modelos clásicos AR (p), MA (q) y ARMA (p, d), los cuales ajustan la serie al modelo matemático, este modelo integrado en diferencias, el modelo ARIMA (p,d,q), se ajusta a la serie estacionaria 𝑍𝑡.
Sea el comportamiento del precio del activo subyacente de una opción financiera descrito por la ecuación diferencial estocástica siguiente.
Como se muestra en el
discretizando la ecuación anterior, esta queda de la siguiente manera
haciendo 𝛥𝑑 = 𝑇 - t se tiene
tal que ε ~𝑁(0,1).
Por lo anterior, se deduce que
y entonces,
Al suponer que la valuación no depende de las preferencias de riesgo de los inversionistas, se define una valuación neutral al riesgo como un escenario en el cual los inversionistas no necesitan un premio al riesgo para invertir. Por lo anterior, el proceso que sigue el activo ser
luego,
Como 𝜀~𝑁(0,1) su función de densidad de probabilidad está dada por la expresión
Sea 𝑔 (𝜀) la función
al despejar 𝜀 se obtiene la función inversa de 𝑔(. ) evaluada en el activo subyacente al tiempo
Recordando que si una función Z = 𝑔(Y), entonces su función de densidad de probabilidad será
entonces,
Evaluando a la función inversa de 𝑔(. ) en 𝑠𝑠 se tiene
entonces,
Como
De lo anterior se observa que
La ecuación (19) será utilizada posteriormente para deducir las ecuaciones del modelo de Black-Scholes para valuar una opción financiera europea de compra
Por otro lado, como se sabe que
luego,
y entonces,
El precio de una opción financiera de compra europea en con precio de ejercicio
así
De la ecuación (19) se sabe que
entonces
Sea
De la ecuación (22) se expresa 𝑑s como
Por
El cambio en el límite inferior de integración se debe a que ahora se integra respecto a 𝜀 y como s > 𝑋, se tiene
Al restar
Así que
Definiendo
donde se asume que ε~𝑁(0,1).
Asimismo, como
La segunda integral satisface:
entonces,
Se sigue que, al topar el límite de integración superior hasta 𝑑1 y 𝑑2 respectivamente,
por lo tanto,
con,
En la
En la
Para valuar una opción financiera europea de venta conservando el supuesto de neutralidad al riesgo, dado que ya conocemos la expresión de una opción financiera europea de compra suponiendo los mismos factores de influencia en el precio de dicha opción, entonces se puede utilizar la fórmula de paridad compra-venta siguiente:
como 𝑁(𝑑1) = 1 − 𝑁(−𝑑1) y 𝑁(𝑑2) = 1 − 𝑁(−𝑑2) entonces se puede remplazar en la ecuación (42) las ecuaciones de Black-Scholes mostradas anteriormente para la opción financiera de compra de la manera siguiente.
En la
En la
A diferencia de los contratos de opciones financieras de compra, en los contratados de opciones de venta se puede observar que tanto las pérdidas como las ganancias son limitadas sin importar la posición que tenga el inversionista en el contrato.
En un contrato de opciones financieras, la posición larga es aquella que adquiere el inversionista por tener el derecho más no la obligación de ejercer el contrato en el futuro, dicho derecho lo adquiere por haber pagado la prima a su contraparte; quien adquiere la posición corta al recibir dicha prima, estando obligado a entregar o a adquirir el activo subyacente en la fecha de vencimiento estipulada en el contrato. Es importante decir que este tipo de seguros financieros matemáticamente son juegos de suma cero, pues lo que un inversionista gana el otro lo pierde y viceversa.
Los factores de influencia sobre el valor de la prima de las opciones financieras son 𝑆𝑡: precio del activo subyacente durante el contrato, 𝑆𝑡: precio del activo subyacente al final del contrato,
El portafolio cono consiste en tener la posición larga en una opción de compra y en una opción de venta con el mismo precio de ejercicio en ambos casos; este portafolio funciona cuando el inversionista tiene la expectativa de que puede haber cambios drásticos en el precio de cierre del activo subyacente; es decir se espera una alta volatilidad en dicho precio; el portafolio cono funciona de la siguiente manera: si el precio del activo subyacente sube, entonces el inversionista obtiene ganancias con la opción financiera de compra, mientras que si el precio del activo subyacente baja se tiene ganancias con la opción financiera de venta.
En la
El portafolio cono corto consiste en tener la posición corta en una opción financiera de compra y en una opción financiera de venta con el mismo precio de ejercicio en ambos casos; este portafolio funciona cuando el inversionista tiene la expectativa de que puede haber pequeños cambios o poca variabilidad en el precio de cierre del activo subyacente; es decir, se espera una baja volatilidad en dicho precio. En la
Con información histórica diaria en los precios de cierre de las acciones BIMBO y HERDEZ correspondiente a las fechas de 4 de enero de 2016 hasta el 25de mayo de 2018 (602 observaciones), se analizaron el comportamiento de los precios de cierre, como se muestra en las
En la
En la
Para ambas empresas se analizó la estacionariedad, así como: normalidad, no autocorrelación y homoscedasticidad en sus residuales (ver
Fuente: elaboración propia en Excel 2016.
Fecha
Precio Real (PR)
Pronostico 1
Pronostico 2
28/05/2018
37.9000
43.5070
38.0806
29/05/2018
37.3200
43.5007
38.2291
30/05/2018
37.8500
43.4977
38.3819
31/05/2018
38.0600
43.4883
38.3248
01/06/2018
37.3500
43.4749
38.2804
04/06/2018
36.2800
43.4613
38.2556
05/06/2018
36.7500
43.4457
38.2560
06/06/2018
36.2200
43.4288
38.2504
07/06/2018
35.0700
43.4190
38.2402
08/06/2018
35.7300
43.4342
38.2276
11/06/2018
36.6800
43.4152
38.2165
12/06/2018
36.6600
43.3947
38.2061
13/06/2018
36.5300
43.3650
38.1959
14/06/2018
36.7300
43.3504
38.1853
15/06/2018
36.8700
43.3583
38.1747
18/06/2018
37.1100
43.3646
38.1641
19/06/2018
37.0000
43.3434
38.1536
20/06/2018
37.0300
43.3661
38.1430
21/06/2018
36.7800
43.2859
38.1325
22/06/2018
37.2200
43.2952
38.1219
25/06/2018
37.3100
43.3068
38.1114
26/06/2018
37.2200
43.2903
38.1008
27/06/2018
36.6600
43.2529
38.0903
28/06/2018
37.1200
43.2285
38.0798
29/06/2018
38.6900
43.2327
38.0692
02/07/2018
37.4400
43.2431
38.0587
03/07/2018
37.0700
43.4323
38.0418
04/07/2018
37.9200
43.2017
38.0377
05/07/2018
39.7600
43.1779
38.0271
06/07/2018
40.3100
43.1731
38.0166
Fuente: elaboración propia en Excel 2016. * Indica el portafolio adecuado con base en el pronóstico
Fecha
PR
P1
P2
P1 Figura
P2 Figura
28/05/2018
37.9000
43.5070
38.0806
cono
cono corto*
29/05/2018
37.3200
43.5007
38.2291
cono*
cono corto
30/05/2018
37.8500
43.4977
38.3819
cono
cono corto*
31/05/2018
38.0600
43.4883
38.3248
cono
cono corto*
01/06/2018
37.3500
43.4749
38.2804
cono
cono corto*
04/06/2018
36.2800
43.4613
38.2556
cono*
cono corto
05/06/2018
36.7500
43.4457
38.2560
cono*
cono corto
06/06/2018
36.2200
43.4288
38.2504
cono*
cono corto
07/06/2018
35.0700
43.4190
38.2402
cono*
cono corto
08/06/2018
35.7300
43.4342
38.2276
cono*
cono corto
11/06/2018
36.6800
43.4152
38.2165
cono
cono corto*
12/06/2018
36.6600
43.3947
38.2061
cono
cono corto*
13/06/2018
36.5300
43.3650
38.1959
cono
cono corto*
14/06/2018
36.7300
43.3504
38.1853
cono
cono corto*
15/06/2018
36.8700
43.3583
38.1747
cono
cono corto*
18/06/2018
37.1100
43.3646
38.1641
cono
cono corto*
19/06/2018
37.0000
43.3434
38.1536
cono
cono corto*
20/06/2018
37.0300
43.3661
38.1430
cono
cono corto*
21/06/2018
36.7800
43.2859
38.1325
cono
cono corto*
22/06/2018
37.2200
43.2952
38.1219
cono
cono corto*
25/06/2018
37.3100
43.3068
38.1114
cono
cono corto*
26/06/2018
37.2200
43.2903
38.1008
cono
cono corto*
27/06/2018
36.6600
43.2529
38.0903
cono
cono corto*
28/06/2018
37.1200
43.2285
38.0798
cono
cono corto*
29/06/2018
38.6900
43.2327
38.0692
cono
cono corto*
02/07/2018
37.4400
43.2431
38.0587
cono
cono corto*
03/07/2018
37.0700
43.4323
38.0418
cono
cono corto*
04/07/2018
37.9200
43.2017
38.0377
cono
cono corto*
05/07/2018
39.7600
43.1779
38.0271
cono
cono corto*
06/07/2018
40.3100
43.1731
38.0166
cono*
cono corto
Fuente: elaboración propia en Excel 2016.
Fecha
Precio Real (PR)
Pronostico 1(P1)
Pronostico 2(P2)
28/05/2018
39.4900
36.1882
40.6358
29/05/2018
39.3000
36.1829
40.7445
30/05/2018
40.4000
36.1775
40.6199
31/05/2018
39.4300
36.1724
40.4974
01/06/2018
39.1800
36.1673
40.3286
04/06/2018
39.5000
36.1621
40.3625
05/06/2018
37.5500
36.1564
40.4341
06/06/2018
37.3700
36.1505
40.6075
07/06/2018
37.5200
36.1454
40.6268
08/06/2018
38.5600
36.1409
40.5973
11/06/2018
39.2000
36.1367
40.4249
12/06/2018
39.7000
36.1320
40.3483
13/06/2018
38.9600
36.1267
40.3062
14/06/2018
39.0500
36.1213
40.4269
15/06/2018
39.8500
36.1163
40.5086
18/06/2018
39.3000
36.1115
40.5878
19/06/2018
39.1100
36.1064
40.5055
20/06/2018
39.8700
36.1012
40.4193
21/06/2018
39.7000
36.0958
40.2962
22/06/2018
41.3400
36.0903
40.3116
25/06/2018
40.5600
36.0847
40.3562
26/06/2018
40.6300
36.0791
40.4758
27/06/2018
41.1400
36.0741
40.4925
28/06/2018
40.9800
36.0696
40.4747
29/06/2018
41.8600
36.0651
40.3544
02/07/2018
39.9700
36.0602
40.2957
03/07/2018
39.9400
36.0548
40.2597
04/07/2018
39.9900
36.0495
40.3384
05/07/2018
42.6000
36.0447
40.3944
06/07/2018
43.5400
36.0402
40.4514
Fuente: elaboración propia en Excel 2016.
Fecha
PR
P1
P2
P1 Figura
P2 Figura
28/05/2018
39.4900
36.1882
40.6358
cono*
cono corto
29/05/2018
39.3000
36.1829
40.7445
cono*
cono corto
30/05/2018
40.4000
36.1775
40.6199
cono
cono corto*
31/05/2018
39.4300
36.1724
40.4974
cono
cono corto*
01/06/2018
39.1800
36.1673
40.3286
cono*
cono corto
04/06/2018
39.5000
36.1621
40.3625
cono
cono corto*
05/06/2018
37.5500
36.1564
40.4341
cono*
cono corto
06/06/2018
37.3700
36.1505
40.6075
cono*
cono corto
07/06/2018
37.5200
36.1454
40.6268
cono*
cono corto
08/06/2018
38.5600
36.1409
40.5973
cono*
cono corto
11/06/2018
39.2000
36.1367
40.4249
cono
cono corto*
12/06/2018
39.7000
36.1320
40.3483
cono
cono corto*
13/06/2018
38.9600
36.1267
40.3062
cono
cono corto*
14/06/2018
39.0500
36.1213
40.4269
cono
cono corto*
15/06/2018
39.8500
36.1163
40.5086
cono
cono corto*
18/06/2018
39.3000
36.1115
40.5878
cono
cono corto*
19/06/2018
39.1100
36.1064
40.5055
cono
cono corto*
20/06/2018
39.8700
36.1012
40.4193
cono
cono corto*
21/06/2018
39.7000
36.0958
40.2962
cono
cono corto*
22/06/2018
41.3400
36.0903
40.3116
cono
cono corto*
25/06/2018
40.5600
36.0847
40.3562
cono
cono corto*
26/06/2018
40.6300
36.0791
40.4758
cono
cono corto*
27/06/2018
41.1400
36.0741
40.4925
cono
cono corto*
28/06/2018
40.9800
36.0696
40.4747
cono
cono corto*
29/06/2018
41.8600
36.0651
40.3544
cono
cono corto*
02/07/2018
39.9700
36.0602
40.2957
cono
cono corto*
03/07/2018
39.9400
36.0548
40.2597
cono
cono corto*
04/07/2018
39.9900
36.0495
40.3384
cono
cono corto*
05/07/2018
42.6000
36.0447
40.3944
cono
cono corto*
06/07/2018
43.5400
36.0402
40.4514
cono*
cono corto
La información reflejada en la
La información reflejada en la
La información reflejada en la
La información reflejada en la
La implementación de herramientas econométricas es de gran ayuda en la toma de decisiones del inversionista para conocer el comportamiento futuro de las acciones de los precios de cierre de BIMBO y HERDEZ, el contrastar dos pronósticos realizados de manera distinta permite ver la eficiencia de cada uno.
Al crear diversos modelos ARIMA se pudo obtener los resultados adecuados en la selección del portafolio con opciones financieras de baja volatilidad (cono corto), donde se tenía la expectativa de pequeños cambios en el precio del subyacente con la información proporcionada en el modelo econométrico usado para el pronóstico 2, y de alta volatilidad (cono) con expectativa de grandes cambios en el precio del subyacente mediante el pronóstico 1.
En el análisis realizado en ambos casos tanto para BIMBO como para HERDEZ el pronóstico con el que se obtuvieron mejores resultados fue el pronóstico 2.
Se resalta que para BIMBO el segundo pronóstico fue muy cercano a los precios de cierre reales para periodicidades de: 1 a 5, 20, 21, 22 y de 24 a 28 días, pues se tiene una variación absoluta menor a la unidad. Es decir, se observa un mejor comportamiento de dicho modelo en los periodos de tiempo iniciales y finales a los 30 días.
Mientras que para HERDEZ el segundo pronóstico también se acercó bastante a sus precios de cierre en las periodicidades de: 3, 6, 12, 15, 18, 19, del 21 al 24 y de 26 a 28 días. Se observa un mejor comportamiento del modelo en los periodos de tiempo finales cercanos a los 30 días.
Por lo anterior, el objetivo y la hipótesis de este trabajo de investigación se cumplen, ya que al pronosticar los precios de las acciones del sector alimentos BIMBO y HERDEZ con herramientas econométricas fue de utilidad para la adecuada toma de decisión del inversionista en la selección de portafolios según el comportamiento de la volatilidad del activo subyacente; las ganancias mediante los portafolios fueron obtenidas. Las mejores ganancias reales en el caso de BIMBO fue en el portafolio cono corto con periodicidad de 28 días, pues el precio de cierre del activo subyacente al final del día 28 es casi igual al precio de ejercicio pactado al inicio del contrato, esta ganancia por cada portafolio cono corto equivale a $2.1674 mientras que para HERDEZ lo fue para el portafolio cono corto con periodicidad de 21 días, pues el precio de cierre del activo subyacente al final del día 21 es casi igual al precio de ejercicio pactado al inicio del contrato, esta ganancia por cada portafolio cono corto equivale a $2.4533. En
Para futuras investigaciones se pueden replicar estos modelos de manera dinámica donde cambie la volatilidad a lo largo del tiempo, o bien el uso de ventanas rodantes con el uso de la teoría de cópulas aplicada a los portafolios con opciones financieras.
En la
En la
En la
En la
Fuente: elaboración propia en Excel 2016.
Residuales
D
D0.90
D0.95
D0.99
Resultado
BIMBO Pronóstico1
0.02985
0.0333741
0.0364711
0.0421761
No rechazar H0
BIMBO Pronóstico2
0.03115
0.0333741
0.0364711
0.0421761
No rechazar H0
HERDEZ Pronóstico1
0.03069
0.0333741
0.0364711
0.0421761
No rechazar H0
HERDEZ Pronóstico2
0.03216
0.0333741
0.0364711
0.0421761
No rechazar H0
Sea 𝑆𝑡 = 𝑒𝜇𝑡 + 𝜎𝑊𝑡 Solución de la ecuación diferencial estocástica.
Tal que la ecuación diferencial estocástica es:
Aplicando la serie de Taylor para dos variables
Determina la dinámica de variables aleatorias que tienen una componente estocástica que involucra el movimiento Browniano.
Sea