En este artículo se estima la distribución de probabilidad hiperbólica generalizada con restricción del parámetro que caracteriza a la función de Bessel de tercer orden,
In this paper we estimate the generalized hyperbolic probability distribution with a constrained parameter of the Bessel function of third kind, i.e.λ= -1/2 This value corresponds to the univariate Normal Inverse Gaussian distribution (NIG), which is estimated for variations of the euro, Japanese yen, British pound and Canadian dollar exchange rates with respect to the American dollar. The estimation is respect to the changes of the exchange rates for the period2000-2014. The goodness of fit is checked with two tests to confirm that the adjustment is reasonable.
En los últimos años se ha encontrado evidencia de que una gran parte de los rendimientos de activos financieros no se comportan de acuerdo a una variable aleatoria normal, entre ellos los rendimientos de la bolsa de valores mexicana, (
Mediante algoritmos numéricos (
Concretamente, el ajuste de la distribución hiperbólica univariada en un contexto financiero se llevó a cabo por primera vez por (
Posteriormente, (
En este artículo se presentan dos pruebas de bondad de ajuste: la clásica prueba de Kolmogorov-Smirnov y la de (
El artículo está dividido en tres secciones, en la primera revisamos algunos de los principales trabajos previos alrededor de la estimación de la distribución de las variaciones del tipo de cambio, en la segunda se muestra el análisis de datos, y en la tercera las conclusiones.
El tipo de cambio es una posible fuente de riesgo en diversos portafolios de inversión, así que la valoración de diferentes estrategias de inversión es una actividad apremiante. De la misma manera, es importante profundizar en el entendimiento de la dinámica de los mercados especulativos. En este sentido, el análisis de la distribución de probabilidad de las variaciones de diferentes tipos de cambio, constituye un complemento para concretar medidas para la administración del riesgo de distintos portafolios.
Al día de hoy es aceptado que la distribución de probabilidad de las variaciones en el tipo de cambio no es normal. Diversos estudios proponen distribuciones leptocúrticas como en (
Por otro lado, en (
Otros estudios como el de (
Más recientemente, como ya se mencionó, (
La diversificación de los portafolios de inversión es un punto relevante para alcanzar altos rendimientos. Sin embargo, no es menos importante la distribución de probabilidad, ya que permite la medición y control de riesgo, (
En este documento se presenta evidencia estadística sobre la distribución de probabilidad univariada de las variaciones diarias de cuatro distintas series de tipo de cambio para el periodo 2000-2014. La periodicidad de los datos es diaria y la fuente de información son las cifras reportadas por Bloomberg. En cada caso y para cada tipo de cambio se realiza el procedimiento de estimación sin restricción en el parámetro de la función de Bessel de tercer orden, pues cada uno de los rendimientos de los tipos de cambio pueden mostrar diferentes características según el sesgo y la curtosis existente, (
Los rendimientos diarios de las distintas series de variaciones del tipo de cambio se han calculado bajo un enfoque continuo:
donde i = 1, ...,4 son los tipos de cambio del euro, la libra esterlina, el dólar canadiense y el yen japonés con respecto al dólar americano. La variable de tiempo abarca los días durante los años 2000-2014. Bajo esta notación se tiene que;
pi
r
La media μ, la desviación estándar σ, el sesgo y la curtosis son parámetros descriptivos del comportamiento de la serie de rendimientos. El sesgo caracteriza la asimetría de una distribución de probabilidad mientras que la curtosis mide la picudez relativa, ambos parámetros son relevantes para evaluar la normalidad de una serie de datos, (
Para estimar la distribución de probabilidad empírica de los rendimientos diarios de los tipos de cambio se emplea una función de densidad versátil, (
El rango de variación de los parámetros de GH es sumamente amplio, aunque sobresalen el caso Hiperbólico (λ=l) y el caso Gaussiano Inverso Normal (λ=-l/2), (
En el
Fuente: Elaboración propia.
Nombre
Rango de parámetros
Varianza Gamma
λ>0
α>0
|β|<ct
δ=0
Laplace asimétrica
λ=l
α>0
|β| <α
δ=0
t asimétrica hiperbólica
λ<0
α=3
β≥0
δ>0
Gaussiana inversa normal
λ-1/2
α>0
|β|<α
δ>0
El parámetro más representativo y que determina la forma de la distribución es λ, de ahí que la función de Bessel modificada de tercer orden sea altamente relevante, ya que determina a los elementos de la familia de densidad hiperbólica generalizada.
En este documento se propone la familia GH para analizar algunos de los rendimientos diarios de los tipos de cambio, pues existe evidencia de no- normalidad en diferentes países y contextos, (
La distribución de probabilidad univariada GH, (
donde Kv es la función modificada de Bessel de tercer orden,
para valores positivos de la variable x, (
El procedimiento de estimación trata directamente con máxima verosimilitud para hallar el conjunto de parámetros Θ = (λ, α, δ, β, μ). Este procedimiento se repite para cada una de las series de tipo de cambio. Posteriormente se realizan tanto la prueba de Kolmogorov como la prueba de (
La prueba de Kolmogorov, (
El estadístico de prueba de cola derecha se define como:
mientras que el estadístico de prueba de cola izquierda está dado por
Bajo este contexto la distribución empírica, F
Donde I(xi) es una función indicadora sobre los valores menores o iguales que xi.
En este trabajo, F(x) es la distribución de probabilidad hiperbólica generalizada, así que la prueba de Kolmogorov permite encontrar evidencia a favor o en contra de las estimaciones realizadas. A modo de contraste se realiza también la prueba de (
Análogamente, para verificar la presencia de normalidad en las series de tiempo de los rendimientos se emplea la prueba de normalidad de Jarque- Bera, donde el estadístico de prueba es,
donde n es el número de variables, S es el sesgo y curtosis muestral. El estadístico JB tiene una distribución ji-cuadrado asintótica con dos gradosde libertad. Concretamente, la hipótesis base asume que la asimetría y el exceso de curtosis son cero, pues una variable aleatoria normal presenta esas características, (
En este sentido, también se presenta la prueba Anderson-Darling, (
Donde:
sobre las observaciones ordenadas {X1< X2<... <XN} y bajo la distribución de probabilidad acumulada que se haya propuesto. En este trabajo la prueba Anderson-Darling nos permite hallar, como veremos, evidencia de no normalidad.
Para realizar la prueba de (
Siendo W~GIG(λ, χ,φ)- Posteriormente se calcula la distancia de Mahalanobis definida, (
Luego para cada
Después se elige una partición {pj} en el intervalo cero-uno tal que el punto inicial sea cero y el punto final sea igual a uno. De esta forma se calcula
Finalmente se estima el estadístico de prueba,
donde O
Un aspecto relevante que debe cuidarse también para estimar la distribución de probabilidad empírica sobre los rendimientos diarios de los tipos de cambio es el concepto de estacionariedad. Si una serie de tiempo es estacionaria estrictamente se puede garantizar directamente la existencia de una distribución de probabilidad estable a lo largo del tiempo para el conjunto de datos, (
En este documento se aplica la prueba de Dickey-Fuller aumentada para verificar la estacionariedad de cada una de las series de tiempo. La hipótesis nula es que existe raíz unitaria (no estacionariedad), así que el rechazo de la hipótesis nula bajo diferentes especificaciones, (
En términos generales, la especificación que se sigue para realizar la prueba aumentada de Dickey-Fuller sobre y
siendo que la hipótesis nula es H
En esta sección se presenta la estimación de los parámetros que caracterizan a la distribución hiperbólica generalizada para las diferentes series de rendimientos de los tipos de cambio. En el
Fuente: Elaboración propia.
GBP
EUR
CAD
JPY
Media
-0.000005
0.000047
0.000067
-0.000022
Mediana
0.000068
0.000077
0.000099
0.000000
Máximo
0.029252
0.034654
0.039981
0.035038
Mínimo
-0.034715
-0.025218
-0.032540
-0.055042
Desviación estándar
0.005612
0.006344
0.005731
0.006404
Sesgo
-0.281615
0.043330
-0.155133
-0.027521
Curtosis
5.414564
4.371458
6.224015
6.809034
Jarque-Bera
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Anderson-Darling
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Kolmogorov
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
En cada caso, se rechaza la hipótesis base y existe evidencia para afirmar que las series de tiempo de los rendimientos de los diferentes tipos de cambio no se comportan según una distribución normal.
Si se aplica la prueba de hipótesis de raíz unitaria a cada una de las series de rendimientos,
Fuente: Elaboración propia.
Tipo de cambio
DickeyFuller Aumentada
Phillips-Perron
Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin
GBP
0.0001
0.0001
0.1090
EUR
0.0001
0.0001
0.1336
CAD
0.0001
0.0001
0.1635
JPY
0.0001
0.0001
0.2043
En el caso de las dos primeras pruebas, la hipótesis nula es que la serie de tiempo tiene raíz unitaria, y en el último caso que la serie de tiempo es estacionaria. Estos resultados señalan que la media, la varianza y las covarianzas respectivas son estables a lo largo del periodo 2000-2014.
En el
Fuente: Elaboración propia.
Tipo de cambio
Parámetros estimados según la familia GH
Probabilidad
R
8
a
P
Kolmogorov
McAssey
GBP
0.00036
0.00667
213.24500
-11.69874
0.97310
0.21250
EUR
0.00018
0.00788
193.95870
-3.31690
0.53770
0.78971
CAD
0.00025
0.00555
169.91600
-5.49733
0.85970
0.78971
JPY
-0.00013
0.00669
164.66340
2.66094
0.73420
0.22521
Más aún, el ajuste de la función de densidad de probabilidad NIG resulta significativo a un nivel superior a 10% para cada uno de los rendimientos diarios. La distribución de probabilidad NIG se ajusta razonablemente, con al menos un nivel de confianza del 90%. Esta afirmación es correcta tanto por la prueba de Kolmogorov como para la prueba de (
En relación a los parámetros estimados, es una medida de la dispersión que tiene el rendimiento diario alrededor de su media. En tanto que el parámetro captura la asimetría existente en la distribución de probabilidad. En un caso extremo, si alcanza el valor de cero, entonces la media coincide con la mediana y la función de densidad de probabilidad es simétrica alrededor de su valor esperado. En particular para el caso de los rendimientos diarios de los tipos de cambio, la simetría de la distribución es relevante, ya que el peso de la cola izquierda de la función de densidad de probabilidad, indicaría la pérdida potencial atribuible a eventos poco comunes pero con peso sustancial en la distribución de probabilidad.
En el
Los cuatro rendimientos de los tipos de cambio muestran en promedio un rendimiento diario cercano a cero con una dispersión del orden de 0.007 unidades. Se puede ver también que existe sesgo hacia la izquierda y elevada curtosis.
En este trabajo se ha encontrado evidencia de la ausencia de normalidad en los rendimientos de los diferentes tipos de cambio. Este hallazgo implica que la probabilidad de pérdidas potenciales es superior a la probabilidad asumida bajo la normal, lo cual apunta a que se subestime el riesgo de estas pérdidas. En resumen, el punto es emplear en las sugerencias de administración del riesgo de los portafolios, la distribución de probabilidad que mejor se adapte al comportamiento observado en los datos, es decir, a los rendimientos diarios calculados de cada una de las series de tipo de cambio.
En este trabajo se estima la distribución hiperbólica generalizada univariada para ajustar los rendimientos diarios de las variaciones de cuatro tipos de cambio de la OCDE. Se encuentra evidencia de un ajuste razonable por parte de la distribución univariada Normal Inversa Gaussiana, mediante la prueba clásica de Kolmogorov y una prueba reciente para distribuciones continuas. En cada caso el nivel de significancia es menor a 10%, lo cual nos habla de un ajuste razonable con respecto a la distribución empírica de los rendimientos diarios.
La función de densidad de probabilidad que se ha encontrado captura en cada caso, distintos hechos estilizados de las series financieras. El valor esperado, la varianza, el sesgo y la curtosis que se caracterizan mediante los parámetros estimados de la distribución hiperbólica generalizada señalan claramente colas pesadas y la alta curtosis en los rendimientos diarios de los tipos de cambio.
Este hallazgo nos dice que los rendimientos de los tipos de cambio no siguen una distribución normal, lo cual nos proporciona herramientas para trabajar en diversas aplicaciones como las ya mencionadas de mejor manera. En otras palabras, la no incorporación de la distribución de probabilidad adecuada puede subestimar el riesgo existente, lo cual en momentos de crisis puede resultar en catástrofes en el mundo financiero internacional. El conocimiento de una distribución paramétrica permite por un lado conocer mejor la naturaleza intrínseca de los datos lo cual se puede aplicar empíricamente e incluso puede tener consecuencias teóricas, pues diversas discusiones incluyen supuestos sobre la naturaleza estadística de los datos. Por otro lado, se tiene la oportunidad generar simulaciones que nos permitan valuar instrumentos derivados que dependan de un subyacente con esta distribución, así como escenarios para diversas aplicaciones.