Una cuestión determinante para las finanzas de una empresa con pasivos pensiónales, corresponde a la estimación de las reservas actuariales. En este artículo se propone una estrategia para la estimación de la reserva actuarial de una renta vitalicia, a una vida, considerando una dinámica estocástica integrada con una estrategia de cobertura que garantiza un valor futuro de la reserva mayor o igual al pago a realizar. El planteamiento teórico es relevante, en la medida que permite disminuir el costo de una renta vitalicia, con los beneficios sociales y fiscales que ello implicaría, al permitir una mayor cobertura de los sistemas de retiro.
The estimation of the actuarial reserves is a pivotal point for the finances of a firm with pension liabilities.
In this article a strategy is proposed for the estimation of the actuarial reserve of a life annuity (for one life period), considering an stochastic dynamic integrated with a hedging strategy that guarantees a future value of the reserve greater or equal than the payment due. The theoretical approach is relevant in so far as it allows to diminish the cost of the life annuity, with the social and fiscal benefits that it would entail, by allowing the retirement systems to have greater coverage.
Para las compañías de seguros, gobiernos y entidades públicas y privadas con pasivos pensiónales, el cálculo de la reserva actuarial necesaria para cubrir la totalidad de los pagos de una renta vitalicia es un tema fundamental en la actualidad. La estimación del monto de dicha reserva afecta directamente la estabilidad y cobertura de los sistemas pensiónales y, por ende, la calidad de vida de los involucrados. Un desequilibrio en el sistema pensional además de generar un efecto directo en la calidad de vida de los pensionados y sus familias, afecta la sostenibilidad de las entidades con obligaciones pensiónales, con probables desequilibrios sistémicos en la economía (Grinols y Turnovsky, 1993;
En la ciencia actuarial tradicional se plantea el cálculo de dichas reservas como la suma de los valores presentes esperados de los pagos posibles (
Las metodologías de administración de portafolios incluyendo derivados financieros para estructurar coberturas han sido ampliamente investigadas. Especialmente desde el surgimiento del modelo de
Asimismo, diversas investigaciones han abordado el estudio de fenómenos financieros, considerando la dinámica estocástica para la modelación de variables y precios de derivados financieros. Algunos de los trabajos con este tipo de enfoque son
En esta investigación se desarrolla un modelo estocástico útil para estimar la reserva actuarial de una renta vitalicia a una vida, a partir de una estrategia de cobertura que garantiza un valor futuro de la reserva mayor o igual al pago a realizar. La alternativa estructurada permite reducir el costo de la renta vitalicia a través de una gestión dinámica del portafolio en el cual está invertida la reserva. Después de esta introducción, en la Sección 1, se presenta el modelo; en la Sección 2 se muestra una aplicación, y finalmente se exponen algunas conclusiones.
Sea
donde r es la tasa de interés técnica utilizada para el cálculo actuarial y
Sea
Con base en las ecuaciones de
donde:
y Φ(x) es la probabilidad de que una variable normalmente distribuida con media cero y desviación estándar uno sea menor que x. A partir de V
Si V
FT= max(D
y que
F
con
Como el pagador de la obligación debe cubrir con sus propios recursos el posible faltante o bien quedarse con el posible excedente, entonces se tiene una opción call en posición larga y una opción put en posición corta, ambas con subyacente V
S
La ganancia obtenida será la diferencia entre V
Siguiendo a
donde fv
ℙ{V
Por lo tanto la probabilidad de incumplimiento será:
P{V
Donde
Si la probabilidad de incumplimiento es inaceptable para el administrador de la renta vitalicia, la opción put en posición corta que resulta de la descomposición realizada en la sección 1.1 puede ser anulada a través de una cobertura dinámica como se expone a continuación.
Para determinar el monto de la reserva constituida debe verse a la obligación como la combinación de una opción en posición larga con una put en posición corta. En ese sentido, una cobertura dinámica corresponderá a encontrar un portafolio óptimo en el cual el riesgo de mercado sea eliminado cuando V
Пt = -w
El cambio en el valor del portafolio está dado por
dПt = -w
El Lema de Ito proporciona la EDE que describe el cambio en F
Reemplazando dV
Para eliminar el riesgo de mercado, si se hace w2 = 1, es necesario que
Por lo tanto,
Es decir, por cada opción put en posición corta contenida en el portafolio (o en forma equivalente, por cada obligación de pagar D
El riesgo que se asume en una sucesión de pagos D
S
De lo anterior se deduce que
Es decir, el valor esperado condicional de la reserva para el vencimiento T, viene dado por:
E[V
Por lo que la reserva actuarial necesaria para soportar el pago D
Se considera una población cuya tabla de mortalidad se muestra en el Anexo 1. Para esta aplicación se supone una tasa de interés técnico r = 4.5%. Si la inflación anual proyectada es 3.5% y los pagos a realizar a una persona de 62 años de edad crecen anualmente en un porcentaje igual, siendo el primer pago correspondiente a $7,000 USD, entonces un cálculo actuarial tradicional arroja un valor de reserva actuarial de $123,043 USD. Si se supone que la EDE que conduce las reservas pensiónales de dicha población es:
dV
donde μv - 4.5% y σv = 7% y la parte de la obligación correspondiente a las opciones put en posición corta es gestionada mediante una cobertura delta, entonces el excedente esperado en cada período,E[VT{v> DT}| V
Fuente: Elaboración propia.
T-t
DT
tPx
Trad.V
di
d2
PUT (short)
Delta
Hedging
CALL (long)
E(VT|Vt)
New Vt
1
7,000
0.990803
6,630
-0.096995
-0.166995
218.373339
-0.538635
-3,571.384622
156.826310
3,200
6,630
2
7,245
0.980620
6,493
-0.148189
-0.247184
328.060640
-0.558903
-3,629.020629
199.738983
3,134
3,293
3
7,499
0.969385
6,351
-0.195830
-0.317074
422.328578
-0.577628
-3,668.546272
221.752329
3,070
3,217
4
7,76
0.957033
6,204
-0.243694
-0.383694
510.506904
-0.596266
-3,699.245932
231.972602
2,999
3,134
5
8,033
0.943496
6,052
-0.293327
-0.449852
596.507762
-0.615364
-3,724.048932
234.080391
2,915
3,053
6
8,314
0.928708
5,894
-0.345615
-0.517079
682.568934
-0.635184
-3,743.855275
230.109981
2,817
2,979
7
8,605
0.912604
5,731
-0.401201
-0.586403
770.226898
-0.655864
-3,758.662362
221.407265
2,702
2,914
8
8,906
0.895120
5,562
-0.460615
-0.658605
860.657307
-0.677462
-3,767.915550
208.990613
2,571
2,859
9
9,218
0.876200
5,387
-0.524338
-0.734338
954.826716
-0.699978
-3,770.677020
193.707994
2,423
2,816
10
9,540
0.855788
5,206
-0.592849
-0.814208
1,053.574191
-0.723359
-3,765.725305
176.310018
2,259
2,783
11
9,874
0.833840
5,019
-0.666616
-0.898780
1,157.620886
-0.747491
-3,751.582710
157.498395
2,079
2,760
12
10,220
0.810320
4,826
-0.746129
-0.988616
1,267.591178
-0.772205
-3,726.592481
137.936977
1,886
2,747
13
10,577
0.785203
4,627
-0.831904
-1.084292
1,384.006341
-0.797268
-3,688.981166
118.255574
1,684
2,741
14
10,948
0.758481
4,422
-0.924485
-1.186401
1,507.258091
-0.822383
-3,636.938582
99.045895
1,475
2,739
15
11,331
0.730163
4,212
-1.024451
-1.295559
1,637.585139
-0.847189
-3,568.733446
80.846114
1,264
2,738
16
11,727
0.700277
3,997
-1.132425
-1.412425
1,775.045771
-0.871272
-3,482.852375
64.120795
1,057
2,733
17
12,138
0.668875
3,778
-1.249084
-1.537701
1,919.489317
-0.894183
-3,378.157959
49.239071
859
2,721
18
12,563
0.636038
3,555
-1.375145
-1.672130
2,070.507031
-0.915457
-3,254.065058
36.456554
676
2,695
19
13,002
0.601874
3,328
-1.511384
-1.816507
2,227.422164
-0.934655
-3,110.706177
25.897285
511
2,653
20
13,458
0.566522
3,100
-1.658649
-1.971699
2,389.285592
-0.951407
-2,949.053600
17.547597
370
2,588
21
13,929
0.530158
2,870
-1.817848
-2.138628
2,554.861938
-0.965456
-2,770.989478
11.264494
255
2,500
22
14,416
0.492991
2,641
-1.989970
-2.318299
2,722.671265
-0.976703
-2,579.259365
6.796138
166
2,386
23
14,921
0.455265
2,413
-2.176076
-2.511784
2,891.015618
-0.985225
-2,377.334785
3.817790
100
2,247
24
15,443
0.417258
2,188
-2.377322
-2.720250
3,058.054715
-0.991281
-2,169.146561
1.975135
56
2,088
25
15,983
0.379277
1,968
-2.594964
-2.944964
3,221.869710
-0.995270
-1,958.767827
0.929023
29
1,912
26
16,543
0.341658
1,754
-2.830360
-3.187291
3,380.522839
-0.997675
-1,750.102232
0.391344
13
1,726
27
17,122
0.304755
1,548
-3.084967
-3.448698
3,532.116886
-0.998982
-1,546.635081
0.145057
5
1,535
28
17,721
0.268930
1,352
-3.360389
-3.730794
3,674.862451
-0.999611
-1,351.282240
0.046341
2
1,346
29
18,341
0.234545
1,167
-3.658356
-4.035317
3,807.104725
-0.999873
-1,166.390375
0.012454
1
1,165
30
18,983
0.201949
994
-3.980745
-4.364151
3,927.368358
-0.999966
-993.795913
0.002736
0
993
31
19,648
0.171466
835
-4.329570
-4.719314
4,034.393631
-0.999993
-834.914052
0.000475
0
835
32
20,335
0.143374
691
-4.707059
-5.103039
4,127.206533
-0.999999
-690.770851
0.000063
0
691
33
21,047
0.117899
562
-5.115579
-5.517699
4,205.136008
-1.000000
-562.048052
0.000006
0
562
34
21,784
0.095199
449
-5.557753
-5.965920
4,267.880637
-1.000000
-449.044954
0.000000
0
449
35
22,546
0.075312
351
-6.037710
-6.451836
4,315.702508
-1.000000
-351.494399
0.000000
0
351
36
23,335
0.058199
269
-6.561142
-6.981142
4,349.227929
-1.000000
-268.764559
0.000000
0
269
37
24,152
0.043795
200
-7.133940
-7.559733
4,369.193750
-1.000000
-200.113061
0.000000
0
200
38
24,997
0.031981
145
-7.762291
-8.193800
4,376.541814
-1.000000
-144.592594
0.000000
0
145
39
25,872
0.022580
101
-8.452766
-8.889916
4,372.457367
-1.000000
-101.012500
0.000000
0
101
40
26,778
0.015352
68
-9.212420
-9.655139
4,358.355335
-1.000000
-67.952502
0.000000
0
68
41
27,715
0.010005
44
-10.049077
-10.497296
4,335.823101
-1.000000
-43.819915
0.000000
0
44
42
28,685
0.006221
27
-10.970942
-11.424594
4,306.513361
-1.000000
-26.956802
0.000000
0
27
43
29,689
0.003668
16
-11.988216
-12.447237
4,272.057772
-1.000000
-15.726322
0.000000
0
16
44
30,728
0.002038
9
-13.111554
-13.575881
4,233.933886
-1.000000
-8.645787
0.000000
0
9
45
31,803
0.001059
4
-14.353683
-14.823257
4,193.406035
-1.000000
-4.445791
0.000000
0
4
46
32,917
0.000511
2
-15.728398
-16.203161
4,151.474785
-1.000000
-2.120743
0.000000
0
2
47
34,069
0.000225
1
-17.260860
-17.740756
4,108.880317
-1.000000
-0.925489
0.000000
0
1
48
35,261
0.000090
0
-18.959323
-19.444298
4,066.110541
-1.000000
-0.367199
0.000000
0
0
En este trabajo se propone un planteamiento teórico para la estimación de la reserva actuarial de una renta vitalicia, a una vida, considerando la dinámica estocástica del portafolio en el cual está invertida; además se estructura una estrategia de cobertura que impacta de manera directa dicha estimación. La estrategia es relevante en la medida que permite disminuir el costo de una renta vitalicia, con los beneficios sociales y fiscales que ello implica, al permitir una mayor cobertura de los sistemas de retiro. Futuras investigaciones podrían estar orientadas al análisis de las condiciones regulatorias y de mercado, necesarias para implementar lo planteado en este artículo.
Los autores agradecen los valiosos comentarios y sugerencias de los árbitros.
Véase al respecto
X
l(x)
15
1,000,000
16
999,515
17
999,019
18
998,510
19
997,988
20
997,451
21
996,898
22
996,327
23
995,736
24
995,124
25
994,488
26
993,826
27
993,136
28
992,415
29
991,660
30
990,868
31
990,036
32
989,159
33
988,233
34
987,254
35
986,216
36
985,114
37
983,942
38
982,693
39
981,360
40
979,936
41
978,411
42
976,776
43
975,021
44
973,135
45
971,105
46
968,919
47
966,561
48
964,017
49
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50
958,298
51
955,085
52
951,608
X
l(x)
53
947,843
54
943,766
55
939,348
56
934,604
57
929,498
58
923,991
59
918,039
60
911,595
61
904,607
62
897,019
63
888,769
64
879,635
65
869,557
66
858,477
67
846,334
68
833,069
69
818,623
70
802,940
71
785,968
72
767,658
73
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74
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75
704,342
76
680,372
77
654,970
78
628,162
79
599,994
80
570,538
81
539,892
82
508,181
83
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84
442,222
85
408,381
86
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87
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88
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89
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90
241,235
X
l(x)
91
210,391
92
181,152
93
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94
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100
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108
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109
202
110
81